Hilbert-Schmidtovi operatori i operatori s tragom

• Main Author: Tolić, Antonio
• Other Authors: Bakić, Damir
• Format: Master Thesis
• Language: Croatian
• Published: Sveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet. Matematički odsjek. 2017
• Subjects: PRIRODNE ZNANOSTI. Matematika; NATURAL SCIENCES. Mathematics; Hilbert-Schmidtovi operatori; operatori s tragom; nuklearni operatori; konačnodimenzionalni prostor; Banachova algebra; Banachov prostor; Hilbert-Schmidt operators; trace-class operators; nuclear operators; finite dimensional space; Banach algebra; Banach space; sami
• Online Access: https://zir.nsk.hr/islandora/object/pmf:4493; https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:019166; https://repozitorij.unizg.hr/islandora/object/pmf:4493; https://repozitorij.unizg.hr/islandora/object/pmf:4493/datastream/PDF

Cilj ovog rada bio je upoznati se s Hilbert-Schmidtovim operatorima te operatorima s tragom koje nerijetko nazivamo i nuklearnim operatorima. Hilbert-Schmidtovi operatori i operatori s tragom su pod klase kompaktnih operatora i imaju veliku ulogu u raznim područjima, na primjer u kvantnoj fizici, gdje ih štoviše vrlo često možemo susresti. Uvodno smo naveli osnovne definicije linearne algebre, normiranih prostora i operatora na normiranim prostorima, pri čemu smo naglasak stavili na trag operatora, trenutno na konačnodimenzionalnom prostoru. U sljedećem poglavlju smo ukratko ponovili definicije Banachove algebre koju shvaćamo kao analogon Banachovog prostora. U trećem poglavlju smo promatrali kompaktne operatore. S viškom pozornosti, izrekli smo nužne i bitne definicije, jer ipak kompaktni operatori predstavljaju pravi nadskup Hilbert-Schmidtovih operatora i operatora s tragom. Posebnu smo pažnju dali kompaktnim operatorima na Hilbertovim prostorima. Sljedeće poglavlje koje je bilo na redu su Hilbert-Schmidtovi operatori, dakle uz operatore s tragom, glavna tema ovoga rada. Dali smo osnovnu definiciju Hilbert-Schmidtovih operatora i pokazali da navedena definicija ne ovisi o bazi prostora na kojemu se definiraju. Zatim smo potvrdili da je svaki Hilbert-Schmidtov operator kompaktan. Definirali smo i prostor Hilbert-Schmidtovih operatora te izrekli najbitnija svojstva koja ti operatori posjeduju. U zadnjem poglavlju smo pričali o operatorima s tragom, to jest o nuklearnim operatorima. Definirali smo operator s tragom, pri čemu smo pokazali da ne možemo direktno generalizirati trag konačnodimenzionalnog prostora na beskonačnodimenzionalni prostor. Također smo definirali i prostor operatora s tragom, nakon kojeg smo, analogno Hilbert-Schmidtovim operatorima, iznijeli najbitnija svojstva koja operatori s konačnim tragom posjeduju. Zatim smo analizirali dualne prostore, a za sami kraj smo naveli neka poopćenja nuklearnih operatora. The main purpose of this paper was to explain Hilbert-Schmidt operators and ...