Kaotično ponašanje iteracijskog procesa u Newtonovoj metodi – Newtonov fraktal

• Main Author: Zlatić, Sanja; Veleučilište u Varaždinu, Varaždin, Hrvatska; [e-mail]
• Format: Text
• Language: Croatian
• Published: Polytechnic of Varaždin; [e-mail] 2013
• Subjects: aproksimacija; iteracija; Newtonov fraktal; Newtonova metoda; approximation; iteration; Newton's fractal; Newton's method; sami
• Online Access: http://hrcak.srce.hr/112056; http://hrcak.srce.hr/file/165241

Ono što se danas naziva Newtonovom metodom Isaac Newton otkrio je oko 1670. godine. Iako je Newtonova metoda veoma stara, tek je nedavno otkriveno da poopćenje ove metode na kompleksnu ravninu dovodi do prekrasnih fraktalnih slika. Kod jednadžbi koje imaju više od jednog rješenja postavlja se pitanje kojem će rješenju voditi Newtonova metoda. Nultočke promatrane funkcije ponašaju se kao magneti za proces iteracije te stvaraju oko sebe tzv. „privlačne bazene“. Rješenje koje će metoda pronaći ovisi o početnoj aproksimaciji. Grafički, svakoj nultočki zadane funkcije pridružena je jedna boja, a točke kompleksne ravnine obojane su bojom nultočke prema kojoj konvergiraju. Granica između privlačnih bazena ekstremno je složen objekt. Iako bazeni sami po sebi nisu fraktalni jer sadrže velike skupove bez ikakve podstrukture, njihove granice imaju fraktalna svojstva. Krenuvši od bilo koje točke na granici bazena uvijek se dobiva prijelaz iteracijskog procesa u kaos. Isaac Newton discovered what we now call Newton's method around 1670. Although Newton's method is an old application of calculus, it was discovered relatively recently that extending it to the complex plane leads to a very interesting fractal pattern. For equations that have more than one solution, the question is which solution will Newton's method lead to. Zeros of the observed function act as magnets for the iteration process and around themselves create the so called ‘attractive pools.’ The solution the method will find depends on the initial approximation. Graphically, each zero for given function is associated with a single colour, and the point of the complex plane are painted in the colour of the zero which they converge on. The boundary between the attractive pools is an extremely complicated subject. Although the pools themselves are not fractal because they contain large sets without any substructure, their boundaries have fractal properties. Starting from any point on the border of the pool, we always get the transition of iterative process into chaos.