СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ФРАКТАЛЫ» ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

• Main Author: Гоза, Н.
• Format: Text
• Language: unknown
• Published: Общество с ограниченной ответственностью "Издательский Дом "Академия Естествознания" 2007
• Subjects: Архангельск*
• Online Access: http://cyberleninka.ru/article/n/struktura-i-soderzhanie-fakultativnogo-kursa-dinamicheskie-sistemy-i-fraktaly-dlya-shkolnikov; http://cyberleninka.ru/article_covers/14797610.png

Введение Современное молодое поколение отличается нацеленностью на приобретение прикладных знаний и умений. При изучении математики, как в школе, так и в вузе часто можно слышать вопрос: «А как это можно применить на практике?». Частично ответить на него помогают межпредметные связи математики с физикой, химией, географией, техникой, но сейчас стандартных примеров уже недостаточно. Темпы развития современной науки настолько высоки, что разрыв между ее достижениями и содержанием базового курса школьной математики не только огромен, но и постоянно увеличивается. Стандартный курс математики построен на основе изучения классических разделов, сформировавшихся, в основном, до 20 века. Школьники в рамках программы практически не имеют возможности для знакомства с современными математическими теориями, их интересными и обширными приложениями. В то же время, для формирования научных мировоззренческих представлений школьникам необходимо дать возможность познакомиться с новыми теориями и направлениями развития ма тематики, их применением доя описания разнооб разных процессов и явлений окружающего мира, решения многочисленных прикладных задач. Это имеет большую общекультурную и практическую значимость, в том числе позволит расширить кру гозор учеников, развить их математическое мыш ление и культуру, инициативу и творческий по тенциал. Знакомство школьников с современны ми разделами математики, является хорошей ба зойдояорганизацииихнаучноисследовательской деятельности. Большая часть современных исследований в той или иной мере связана с использованием различных компьютерных программ. Это имеет дополнительную привлекательность для школьников, которые прекрасно осознают необходимость высокого уровня владения компьютером доя успешного обучения, проведения научных исследований, применения информационных ресурсов и технологий в практике, получения престижной работы. Знакомство с современными направлениями развития математики, новыми теоретическими методами исследований, использованием компьютерных программ и технологий для решения учебных и научных задач может осуществляться в рамках факультативов, которые открывают большие возможности для реализации познавательных интересов учащихся и развития личности в целом. В этом случае большую помощь школьному учителю может оказать привлечение к разработке и проведению занятий преподавателей, аспирантов и студентов университетов. Такие курсы могут быть организованы не только в виде факультативов, но и в летних математических школах, школах для одаренных детей и т.д. Выбор темы факультатива определило то, что теория динамических систем, фракталов и хаоса является одним из молодых и бурно развивающихся разделов математики, который имеет широкий спектр приложений во многих областях, как математики, так и физики, биологии, медицины, геологии, психологии, экономики и др. Несмотря на то, что теория динамических систем изучается в рамках научно-исследовательской подготовки специалистов в вузах, знакомство с некоторыми её разделами вполне доступно и школьникам. Мы предлагаем включить в курс основные понятия и свойства дискретных динамических систем, такие как динамическая система, итерация, неподвижные точки, периодические орбиты, паутинные диаграммы, понятие хаоса. Тема «Фракталы» познакомит с классическими фракталами, историей их возникновения, способами построения, нахождением размерности. Изучение элементов двумерной и комплексной динамики расширит и углубит представление о различных динамических системах и фракталах, а также покажет их внутренние взаимосвязи. Большую роль при изучении динамических систем играет компьютерное моделирование. В качестве основного программного пакета доя курса «Динамические системы и фракталы» нами выбрана система Matlab, возможности которой позволяют применять ее доя расчетов практически в любой области науки и техники. К достоинствам этой системы следует отнести ее открытость и расширяемость, а также то, что она имеет язык программирования, ориентированный на математические расчеты. Большинство команд и функций системы реализованы в виде текстовых m-файлов, которые просты, понятны и доступны доя модификации. Пользователь может создавать отдельные файлы для реализации специфических задач и по скорости выполнения этих задач система нередко выигрывает у своих конкурентов. Цели и задачи факультативного курса «Динамические системы и фракталы» Основной целью этого курса является знакомство учащихся с теорией динамических систем, фракталов и хаоса, ее приложениями в различных областях знания, а также применение пакета Matlab при изучении динамики отображений и построении фракталов. Целями факультативного курса также являются: www.rae.ru Российская Академия Естествознания Научный журнал "Успехи современного естествознания"№11, 2007 год •·углубление знаний учащихся с учётом их интересов и склонностей, развитие математического мышления; •·воспитание у школьников глубокого интереса к математике и её приложениям, развитие инициативы и творчества учащихся; •·формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса. Задачами данного факультативного курса являются: •·повышение уровня математического мышления учащихся; •развитие навыков исследовательской деятельности; •формирование знаний о прикладных возможностях математики; -формирование навыков использования информационных ресурсов и информационных технологий в практике; •·повышение мотивации школьника к учебе; •повышение уровня математической культуры учащихся. Структура факультативного курса «Динамические системы и фракталы» Факультативный курс для школьников 10-11 классов рассчитан на 60 часов при двух часах занятий в неделю. Основными формами работы являются лекция, семинар и лабораторная работа в компьютерном классе. Проверка усвоения изученного материала проходит в форме самостоятельных и контрольных работ. Курс состоит из теоретической части (35 часов) и лабораторного практикума (25 часов). Материал теоретической части разбит на четыре модуля: «Исследование динамики отображений», «Фракталы», «Элементы двумерной динамики» и «Элементы комплексной динамики». Модуль «Фракталы» достаточно независим от остальных трех, поэтому его положение в структуре курса можно менять. В то же время, геометрические фракталы могут быть построены с помощью аффинных преобразований плоскости и систем итерированных функций, что говорит о взаимосвязи второго и третьего модулей. При изучении элементов комплексной динамики мы также встречаемся с примерами фракталов множествами Жю-лиа и Мандельброта. Третий и четвертый модули независимы друг от друга, но их изучение невозможно без знакомства с основными понятиями и примерами простейших динамических систем, чему посвящен первый модуль. Поэтому мы и предлагаем именно такое расположение модулей факультативного курса. Отметим также, что в зависимости от уровня математической подготовки класса и наличия времени, факультативный курс может состоять только из первого или второго модулей, или из нескольких на выбор учителя. Изучение элементов двумерной и/или комплексной динамики может быть продолжено в следующем классе. Лабораторный практикум знакомит школьников с компьютерной системой MatLab, ее применением при исследовании дискретных динамических систем, а также при построении геометрических фракталов различными способами. Первая треть практикума посвящена изучению основных элементов, свойств и возможностей системы MatLab, программированию внутри системы и работе с т-файлами. Остальные две трети лабораторных занятий согласованы с темами теоретической части, причем в большей степени, первого модуля. Такое построение практикума позволяет начать лабораторный курс одновременно с изучением первого модуля теории, отводя на каждый из них по 1 часу в неделю. Освоив материал первого модуля (10 часов), школьники одновременно изучат и основы системы MatLab, что позволит им самостоятельно создавать программы для нахождения итераций точек и функций, построения паутинных и бифуркационных диаграмм. Содержание факультативного курса «Динамические системы и фракталы» соответствует познавательным возможностям учеников 10-11 классов, дополняет и расширяет основной курс школьной математики. Например, здесь мы отрабатываем понятия сложной функции и производной, изучаем не только одно-, но и двумерные отображения. Школьники применяют движения на плоскости и знакомятся с аффинными преобразованиями. При изучении орбиты точки, притягивающей и отталкивающей точек, мы опираемся на интуитивное понятие предела последовательности. При знакомстве с элементами комплексной динамики, прежде всего, возникает необходимость поработать с комплексными числами, научиться решать некоторые виды уравнений, а затем применить эти знания при исследовании динамики отображений в комплексной области. Данный курс дает школьникам возможность приобрести опыт работы при повышенном уровне требований, знакомит с современной теорией и её многочисленными приложениями, позволяет изучить новую для них компьютерную систему MatLab и ее применение к решению математических и прикладных задач. Все это развивает учебную мотивацию школьников, математическое мышление, навыки исследовательской деятельности и применения информационных технологий на практике, а также формирует представление о математике как одной из основ мировой науки и культуры. I. Теоретическая часть. Динамические системы и фракталы (35 часов) Модуль 1. Исследование динамики отображений (10 часов): www.rae.ru Российская Академия Естествознания Научный журнал "Успехи современного естествознания"№11, 2007 год Нахождение неподвижных точек ото бражения f(x). Изучение динамики отображения f(x) в зависимости от типа неподвижных точек. •·Нахождение 2-периодических точек отображения f(x). Изучение динамики отображения/^) в зависимости от типа двупериодических точек. •·Нахождение интервалов с интересной динамикой отображения. •·Построение бифуркационной диаграммы и ее исследование. •·Изучение областей возможного существования хаоса у отображения с параметром. Проверочная работа. Модуль 2. Фракталы (8 часов): •·Классические фракталы: снежинка Коха, пыль Кантора, ковер Серпинского, губка Менге-ра. •·Геометрические фракталы. •·Понятие фрактальной размерности и примеры ее вычисления. •·Фрактальные кривые и их построение методом L кодов. •·Проверочная работа. Модуль 3. Элементы двумерной динамики (10 часов): •·Двумерные (аффинные) отображения и образы точек плоскости. •·Построение образов множеств на плоскости при двумерном отображении. •·Итерирование двумерных отображений. •Образы систем функций. •·Итерации систем функций. •·Расстояние между множествами. •·Примеры нахождения семейств функций. •·Проверочная работа. Модуль 4. Элементы комплексной динамики (7 часов): •·Комплексные числа и действия с ними. •·Решение простейших уравнений. •·Примеры комплексных отображений. Множества Жюлиа и Мандельброта. //. Лабораторный практикум (25 часов) Содержание лабораторного практикума тоже может быть разбито на модули. Например, модуль 5 может включать 1-4 пункты; модуль 6, соответственно, 5-7 пункты и т.д. Но материал практикума имеет очень сильные внутренние взаимосвязи и зависимости, поэтому мы считаем, что лучше рассматривать его как единое целое. 1. Введение (1 час). 2.Описание программы MatLab (2 часа). 3.Построение графиков функций (4 часа): •·Построение графиков функций одной переменной. •·Построение графиков тригонометрических функций. •Построение графиков произведения, отношения функций, степени функции. Построение графиков кусочно-заданных функций. 4. Самостоятельная работа (1 час). 5. Программирование и способы работы с m-file (2 часа): •·Основы работы с m-file. •·Построение графиков кусочно-заданных функций с помощью m-file. 6.Основные программы, используемые для исследования динамики отображения (4 часа): •·Программа для построения графика функции одной переменной с параметром. •·Программа для построения графиков итераций функции. •·Программа для нахождения итераций точки. •·Программа для графического нахождения неподвижных, двупериодических и п-периодических точек. 7. Самостоятельная работа (1час). 8.Паутинные диаграммы (3 часа): •·Программа для построения паутинной диаграммы. •·Применение паутинной диаграммы для определения типов неподвижных точек. •Применение паутинной диаграммы для определения типов двупериодических точек. 9.Бифуркационная диаграмма (1 час). 10.Контрольная работа на исследование ди намики функции с использованием системы Matlab (2 часа). 11.Построение множеств Жюлиа и Ман дельброта для комплексных отображений (4 часа). Апробация В 2005-2006 годах совместно со студентами математического факультета ПТУ мы организовали и провели факультативный курс «Динамические системы и фракталы» для учеников 9-10 классов с углубленным изучением математики в школе № 22 г. Архангельска. Изучение такого курса позволило школьникам перейти на более высокий уровень математических знаний, сформировать исследовательские навыки, научиться использовать информационные ресурсы и технологии на практике, познакомиться с приложениями динамических систем и фракталов в науке и природе, развить эстетические вкусы. Все это, безусловно, способствовало развитию мировоззрения учеников и индивидуальных качеств их личности. Отметим, что наш факультативный курс позволяет организовать исследовательскую деятельность учащихся, как индивидуально, так и в малых группах. Темы исследовательских работ могут быть очень разнообразны, например, построение фрактальных кривых различными способами; исследование динамики отображений с параметром; изучение динамики простейших отображений в комплексной области; построение множеств Жюлиа и Мандельброта для некоторых www.rae.ru Российская Академия Естествознания Научный журнал "Успехи современного естествознания"№11, 2007 год отображений. Большой интерес представляет изучение с позиций теории динамических систем моделей популяционных процессов в природе и обществе; применение фракталов в компьютерной графике и др. В рамках проектной технологии участники факультатива подготовили доклады о применении динамических систем и фракталов в различных областях человеческого знания. Они выступали с докладами перед учениками и учителями своей школы. Два школьника с докладом о построении фракталов с применением систем итерированных функций успешно выступили на международном семинаре в Поморском университете (2006). Весной 2007года доклад двух участниц факультатива «Построение фракталов методом L-кодов» занял второе место на конференции «Наука в руках молодых» в Архангельском техническом университете.