Matrices with restricted entries and q-analogues of permutations (extended abstract)

• Main Authors: Lewis, Joel Brewster, Liu, Ricky Ini, Morales, Alejandro H., Panova, Greta, Sam, Steven V, Zhang, Yan
• Other Authors: Department of Mathematics MIT, Massachusetts Institute of Technology (MIT), School of Mathematics (UMN-MATH), University of Minnesota Twin Cities (UMN), University of Minnesota System-University of Minnesota System, Department of Mathematics Cambridge (HARVARD), Harvard University Cambridge, Bousquet-Mélou, Mireille and Wachs, Michelle and Hultman, Axel
• Format: Conference Object
• Language: English
• Published: HAL CCSD 2011
• Subjects: linear algebra over finite fields; $q$-analogues; derangements; [MATH.MATH-CO]Mathematics [math]/Combinatorics [math.CO]; [INFO.INFO-DM]Computer Science [cs]/Discrete Mathematics [cs.DM]; Iceland
• Online Access: https://hal.inria.fr/hal-01215041; https://hal.inria.fr/hal-01215041/document; https://hal.inria.fr/hal-01215041/file/dmAO0157.pdf

International audience We study the functions that count matrices of given rank over a finite field with specified positions equal to zero. We show that these matrices are $q$-analogues of permutations with certain restricted values. We obtain a simple closed formula for the number of invertible matrices with zero diagonal, a $q$-analogue of derangements, and a curious relationship between invertible skew-symmetric matrices and invertible symmetric matrices with zero diagonal. In addition, we provide recursions to enumerate matrices and symmetric matrices with zero diagonal by rank. Finally, we provide a brief exposition of polynomiality results for enumeration questions related to those mentioned, and give several open questions. Nous étudions certaines fonctions qui comptent des matrices à coefficients dans un corps fini d'un rang donné ayant certaines entrées égales à zéro. Nous montrons que ces matrices sont des $q$-analogues des permutations avec certaines valeurs restreintes, et nous obtenons une formule simple et fermée pour calculer le nombre de matrices inversibles avec zéro sur toute la diagonale. De plus nous donnons des récursions pour énumérer par le rang les matrices et les matrices symétriques avec des zéros sur la diagonale. Pour finir, nous faisons un exposé concis des résultats sur la polynomialité des fonctions énumératives liées à celles qui sont mentionnées antérieurement, et nous incluons plusieurs questions ouvertes.