Weak orderability of some spaces which admit a weak selection.

• Main Author: COSTANTINI, Camillo
• Other Authors: C. COSTANTINI
• Format: Article in Journal/Newspaper
• Language: English
• Published: Galloway & Porter Limited:30 Sidney Street, Cambridge CB2 3HS United Kingdom:011 44 1223 367876, EMAIL: [e-mail], Fax: [phone] 2006
• Subjects: Weak (continuous) selection; weak orderability; Vietoris topology; dense countable subset; isolated point; countable base; collectionwise Hausdorff space; Ferreira; artico
• Online Access: http://hdl.handle.net/2318/4482

Nell'articolo vengono considerate le cosiddette "selezioni deboli", cioè selezioni, continue rispetto alla topologia di Vietoris, definite non sull'intero iperspazio di uno spazio X ma unicamente sulla famiglia dei sottinsiemi (non vuoti) di X aventi al più due punti. In un fondamentale articolo di van Mill e Wattel ("Selections and orderability"; Proceedings of the American Mathematical Society, 83, 1981, pag 601-605) viene dimostrato che se uno spazio compatto (T_2) X ammette una selezione debole, allora esso è debolmente ordinabile, ossia esiste un ordine totale su X tale che la topologia dell'ordine da esso generata è meno fine (o uguale) di quella originaria di X. Sempre nel suddetto articolo, gli autori pongono la questione, rimasta aperta per oltre 25 anni, se il risultato summenzionato valga anche senza ipotesi di compattezza su X. Mentre da un lato risultati di Artico, Moresco, Pelant, Rotter, Tkachenko, García-Ferreira e Sanchis mostrano come l'ipotesi di compattezza possa essere indebolita fino ad arrivare - per spazi completamente regolari - alla numerabile compattezza, nel mio articolo la linea d'indagine va piuttosto nella direzione di rimpiazzare la compattezza con l'esistenza di una base numerabile. Tuttavia, il tipo di argomentazione sviluppato per arrivare al risultato finale ha richiesto l'assunzione aggiuntiva che lo spazio possieda un sottinsieme denso discreto. In un successivo articolo di V. Gutev ("Weak orderability of second countable spaces"; Fundamenta Mathematicae, 196(3), 2007, pag. 275-287) viene evidenziato come tale assunzione aggiuntiva possa essere eliminata, dimostrando definitivamente che se uno spazio 2^-numerabile ammette una selezione debole, allora esso è debolmente ordinabile.