Morphismes harmoniques et déformation de surfaces minimales dans des variétés de dimension 4

• Main Author: Makki, Ali
• Other Authors: Tours, Soret, Marc, Ville, Marina
• Format: Thesis
• Language: English
• Published: 2014
• Subjects: Morphismes harmoniques; Surfaces minimales; Structures presque complexe; Harmonic morphism; Minimal surface; Almost complex structure; Pôle Nord
• Online Access: http://www.theses.fr/2014TOUR4013/document

Dans cette thèse, nous étudions la structure d’un morphisme harmonique F d’une variété riemannienne M4 dans une surface N2 au voisinage d’un point critique mO. Si mO est un point I critique isolé ou si M4 est compact sans bord, nous montrons que F est pseudo-Holomorphe par rapport à une structure presque hermitienne definie dans un voisinage de mO. Si M4 est compact sans bord, les fibres singuliers de F sont des surfaces minimales avec points de branchement. Ensuite, nous étudions des exemples de morphismes harmoniques due a Burel de (S4, gk,l) dans S2 où (gk,I) est une famille de métriques conforme à la métrique canonique. Nous construisons tout d’abord une application semi-Conforme Φk,l de S4 dans S2 en composant deux applications semi-Conformes régulières, F de S4 dans S3 et Φk,i, de S3 dans S2. II résulte de Baird-Eells que le fibres régulier de øk,l pour tout k, I sont minimales. Si [k] = [l] = 1, l’ensemble des points critiques est donnée par l’image réciproque du pâle nord: il consiste en deux 2-Sphères ayant deux points d’intersection. Si k, I 6= 1 l’ensemble des points critiques sont les images réciproques du pôle nord (de la même façon que pour k = t = 1 deux sphères, mais avec une multiplicité I) ainsi que la pré-Image du pôle sud (un tore) avec multiplicité k. Enfin, nous étudions une construction due à Baird-Ou de morphismes harmoniques d’une ensembles ouverts de (S2×S2, can) dans S2. Nous vérifions qu’ils sont holomorphe par rapport à une des quatre structures complexes canoniques hermitiennes. In this thesis, we are interested in harmonic morphisms between Riemannian manifolds (Mm, g) and (Nn, h) for m > n. Such a smooth map is a harmonic morphism if it pulls back local harmonic functions to local harmonic functions: if ƒ : V → ℝ is a harmonic function on an open subset V on N and Φ-1(V) is non-Empty, then the composition ƒ ∘ Φ : Φ-1(V) → ℝ is harmonic. The conformal transformations of the complex plane are harmonic morphisms. In the late 1970's Fuglede and Ishihara published two papers ([Fu]) and ([Is]), where they discuss their results on harmonic morphisms or mappings preserving harmonic functions. They characterize non-Constant harmonic morphisms F : (M,g) → (N,h) between Riemannian manifolds as those harmonic maps, which are horizontally conformal, where F horizontally conformal means : for any x ∈ M with dF(x) ≠ 0, the restriction of dF(x) to the orthogonal complement of kerdF(x) in TxM is conformal and surjective. This means that we are dealing with a special class of harmonic maps.