Extreme boundary conditions and random tilings ... : ظروف الحدود القصوى والإمالة العشوائية ...

• Main Author: Jean-Marie Stéphan
• Format: Text
• Language: English
• Published: OpenAlex 2021
• Subjects: Random Matrix Theory and Its Applications; Statistics and Probability; Mathematics; FOS Mathematics; Physical Sciences; Scaling Limits of Interacting Particle Systems; Mathematical Physics; Phase Transitions and Critical Phenomena; Condensed Matter Physics; FOS Physical sciences; Physics and Astronomy; Scaling Limits; Percolation Models; Conformal Invariance; Statistical mechanics; Generality; Counterexample; Statistical physics; Intuition; Theoretical physics; Physics; Epistemology; Discrete mathematics; Philosophy; FOS Philosophy, ethics and religion; Psychology; FOS Psychology; Psychotherapist; Arctic
• Online Access: https://dx.doi.org/10.60692/94e3s-da738; https://gresis.osc.int//doi/10.60692/94e3s-da738

Standard statistical mechanical or condensed matter arguments tell us that bulk properties of a physical system do not depend too much on boundary conditions. Random tilings of large regions provide counterexamples to such intuition, as illustrated by the famous 'arctic circle theorem' for dimer coverings in two dimensions. In these notes, I discuss such examples in the context of critical phenomena, and their relation to 1+1d quantum particle models. All those turn out to share a common feature: they are inhomogeneous, in the sense that local densities now depend on position in the bulk. I explain how such problems may be understood using variational (or hydrodynamic) arguments, how to treat long range correlations, and how non trivial edge behavior can occur. While all this is done on the example of the dimer model, the results presented here have much greater generality. In that sense the dimer model serves as an opportunity to discuss broader methods and results. [These notes require only a basic ... : تخبرنا الحجج الميكانيكية الإحصائية القياسية أو حجج المادة المكثفة أن الخصائص الظاهرية للنظام المادي لا تعتمد كثيرًا على ظروف الحدود. تقدم الميول العشوائية للمناطق الكبيرة أمثلة مضادة لهذا الحدس، كما يتضح من "نظرية الدائرة القطبية الشمالية" الشهيرة لأغطية ثنائي الأبعاد في بعدين. في هذه الملاحظات، أناقش مثل هذه الأمثلة في سياق الظواهر الحرجة، وعلاقتها بنماذج الجسيمات الكمومية 1+ 1d. يتبين أن كل هؤلاء يشتركون في سمة مشتركة: فهم غير متجانسين، بمعنى أن الكثافات المحلية تعتمد الآن على الموقع في الجزء الأكبر. أشرح كيف يمكن فهم مثل هذه المشاكل باستخدام الحجج المتغيرة (أو الهيدروديناميكية)، وكيفية التعامل مع الارتباطات طويلة المدى، وكيف يمكن أن يحدث سلوك الحافة غير التافهة. في حين أن كل هذا يتم على مثال نموذج ثنائي الأبعاد، فإن النتائج المعروضة هنا لها عمومية أكبر بكثير. وبهذا المعنى، يعمل نموذج ثنائي الأبعاد كفرصة لمناقشة الأساليب والنتائج الأوسع. [لا تتطلب هذه الملاحظات سوى معرفة أساسية بالميكانيكا الإحصائية.] ...