The topology of restricted partition posets

• Published in: Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science
• Main Authors: Ehrenborg, Richard, Jung, Jiyoon
• Other Authors: Department of Mathematics (Kentucky), University of Kentucky (UK), Bousquet-Mélou, Mireille and Wachs, Michelle and Hultman, Axel
• Format: Conference Object
• Language: English
• Published: HAL CCSD 2011
• Subjects: Pointed set partitions; descent set statistics; top homology group; Specht module; knapsack partitions; [MATH.MATH-CO]Mathematics [math]/Combinatorics [math.CO]; [INFO.INFO-DM]Computer Science [cs]/Discrete Mathematics [cs.DM]; Bouquet; Iceland
• Online Access: https://hal.inria.fr/hal-01215111; https://hal.inria.fr/hal-01215111/document; https://hal.inria.fr/hal-01215111/file/dmAO0126.pdf; https://doi.org/10.46298/dmtcs.2910

International audience For each composition $\vec{c}$ we show that the order complex of the poset of pointed set partitions $Π ^• _{\vec{c}}$ is a wedge of $β\vec{c}$ spheres of the same dimensions, where $β\vec{c}$ is the number of permutations with descent composition ^$\vec{c}$. Furthermore, the action of the symmetric group on the top homology is isomorphic to the Specht module $S^B$ where $B$ is a border strip associated to the composition $\vec{c}$. We also study the filter of pointed set partitions generated by a knapsack integer partitions and show the analogous results on homotopy type and action on the top homology. Pour chaque composition $\vec{c}$ nous montrons que le complexe simplicial des chaînes de l'ensemble ordonné $Π ^• _{\vec{c}}$ des partitions pointées d'un ensemble est un bouquet de $β\vec{c}$ sphères de même dimension, où $β\vec{c}$ est le nombre de permutations ayant la composition de descentes $\vec{c}$. De plus, l'action du groupe symétrique sur le groupe d'homologie de degré maximum est isomorphe au module de Specht $S^B$ où $B$ est la bande frontalière associée à la composition $\vec{c}$. Nous étudions aussi le filtre des partitions pointées d'un ensemble, engendré par des partitions d'entiers de type "sac à dos'' et nous démontrons des résultats analogues pour le type d'homotopie et pour l'action sur le groupe d'homologie de degré maximum.