Relative Node Polynomials for Plane Curves

• Main Author: Block, Florian
• Other Authors: Department of Mathematics - University of Michigan, University of Michigan Ann Arbor, University of Michigan System-University of Michigan System, Bousquet-Mélou, Mireille and Wachs, Michelle and Hultman, Axel
• Format: Conference Object
• Language: English
• Published: HAL CCSD 2011
• Subjects: enumerative geometry; floor diagram; Gromov-Witten theory; node polynomial; tangency conditions; [MATH.MATH-CO]Mathematics [math]/Combinatorics [math.CO]; [INFO.INFO-DM]Computer Science [cs]/Discrete Mathematics [cs.DM]; Fomin; Severi; Iceland
• Online Access: https://hal.inria.fr/hal-01215084; https://hal.inria.fr/hal-01215084/document; https://hal.inria.fr/hal-01215084/file/dmAO0119.pdf

International audience We generalize the recent work of Fomin and Mikhalkin on polynomial formulas for Severi degrees. The degree of the Severi variety of plane curves of degree d and δ nodes is given by a polynomial in d, provided δ is fixed and d is large enough. We extend this result to generalized Severi varieties parametrizing plane curves which, in addition, satisfy tangency conditions of given orders with respect to a given line. We show that the degrees of these varieties, appropriately rescaled, are given by a combinatorially defined ``relative node polynomial'' in the tangency orders, provided the latter are large enough. We describe a method to compute these polynomials for arbitrary δ , and use it to present explicit formulas for δ ≤ 6. We also give a threshold for polynomiality, and compute the first few leading terms for any δ . Nous généralisons les travaux récents de Fomin et Mikhalkin sur des formules polynomiales pour les degrés de Severi. Le degré de la variété de Severi des courbes planes de degré d et à δ nœuds est donné par un polynôme en d , pour δ fixé et d assez grand. Nous étendons ce résultat aux variétés de Severi généralisées paramétrant les courbes planes et qui, en outre, satisfont à des conditions de tangence d'ordres donnés avec une droite fixée. Nous montrons que les degrés de ces variétés, rééchelonnés de manière appropriée, sont donnés par un ``polynôme de noeud relatif'', défini combinatoirement, en les ordres de tangence, dès que ceux-ci sont assez grands. Nous décrivons une méthode pour calculer ces polynômes pour delta arbitraire, et l'utilisons pour présenter des formules explicites pour δ ≤ 6 . Nous donnons aussi un seuil pour la polynomialité, et calculons les premiers termes dominants pour tout δ .