Enumerating projective reflection groups

• Main Authors: Biagioli, Riccardo, Caselli, Fabrizio
• Other Authors: Institut Camille Jordan Villeurbanne (ICJ), École Centrale de Lyon (ECL), Université de Lyon-Université de Lyon-Université Claude Bernard Lyon 1 (UCBL), Université de Lyon-Université Jean Monnet Saint-Étienne (UJM)-Institut National des Sciences Appliquées de Lyon (INSA Lyon), Université de Lyon-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Dipartimento di Matematica Bologna, Alma Mater Studiorum Università di Bologna Bologna (UNIBO), Bousquet-Mélou, Mireille and Wachs, Michelle and Hultman, Axel
• Format: Conference Object
• Language: English
• Published: HAL CCSD 2011
• Subjects: reflection groups; characters; permutation statistics; generating functions; [MATH.MATH-CO]Mathematics [math]/Combinatorics [math.CO]; [INFO.INFO-DM]Computer Science [cs]/Discrete Mathematics [cs.DM]; Iceland
• Online Access: https://hal.inria.fr/hal-01215079; https://hal.inria.fr/hal-01215079/document; https://hal.inria.fr/hal-01215079/file/dmAO0114.pdf

International audience Projective reflection groups have been recently defined by the second author. They include a special class of groups denoted G(r,p,s,n) which contains all classical Weyl groups and more generally all the complex reflection groups of type G(r,p,n). In this paper we define some statistics analogous to descent number and major index over the projective reflection groups G(r,p,s,n), and we compute several generating functions concerning these parameters. Some aspects of the representation theory of G(r,p,s,n), as distribution of one-dimensional characters and computation of Hilbert series of some invariant algebras, are also treated. Les groupes de réflexions projectifs ont été récemment définis par le deuxième auteur. Ils comprennent une classe spéciale de groupes notée G(r,p,s,n), qui contient tous les groupes de Weyl classiques et plus généralement tous les groupes de réflexions complexes du type G(r,p,n). Dans ce papier on définit des statistiques analogues au nombre de descentes et à l'indice majeur pour les groupes G(r,p,s,n), et on calcule plusieurs fonctions génératrices. Certains aspects de la théorie des représentations de G(r,p,s,n), comme la distribution des caractères linéaires et le calcul de la série de Hilbert de quelques algèbres d'invariants, sont aussi abordés.